Zahlensysteme

Das aus der unendlichen Anzahl an denkbaren Zahlensystemen vertrauteste ist zweifelsohne das Dezimalsystem, welches wohl ursprünglich darauf zurückzuführen ist, daß die Menschen gewöhnlich zehn Finger haben, mit denen sie zählen.

Die Position einer Ziffer in einer Dezimalzahl gibt an, wie oft die entsprechende Zehnerpotenz in der Zahl vertreten ist. Beachte dabei, daß eine mit Null potenzierte Zahl immer gleich Eins ist (x⁰=1).

Umrechnungsbeispiel Dezimalzahl 1234

1234 =	{	1∙103	+	2∙102	+	3∙101	+	4∙100
		1000	+	200	+	30	+	4
		1234

Betrachten wir nun den Computer, welcher keine zehn Finger zum zählen besitzt, sondern nur zwei Zustände kennt: aus und ein, bzw. 0 und 1. Diese beiden Zustände lassen sich optimal mit dem Binärsystem darstellen, welches eben nur die beiden Ziffern 0 und 1 kennt und in dem die Position der Ziffer angibt, ob eine Zweierpotenz vorhanden ist oder nicht.

Umrechnungsbeispiel Binärzahl 10011001 in Dezimalzahl 153

10011001 =

{

1∙27

+

0∙26

+

0∙25

+

1∙24

+

1∙23

+

0∙22

+

0∙21

+

1∙20

128

+

0

+

0

+

16

+

8

+

0

+

0

+

1

153

Eine einzelne Binärziffer wird als 1bit bezeichnet, in obigem Beispiel, in dem 8 Ziffern aufeinanderfolgen, kann man also auch sagen, diese Zahl besteht aus 8bit. Eine Einheit von 4bit wird gerne zusammengefaßt und als 1nybble bezeichnet, eine Einheit von 8bit oder 2nybble bezeichnet man als 1Byte.

Im Anwendungsbereich begegnen einem jedoch seltener Binärzahlen, als viel mehr Hexadezimalzahlen, wie auch hier auf den Seiten zur Codierung von Farben oder Schriftzeichen. Eine Hexadezimalzahl besteht aus den Ziffern 0 bis 9 und/oder den Buchstaben a bis f (diese werden in Anlehnung an das englische digit für die Ziffern 0 bis 9 auch hexit genannt). In einer Hexadezimalzahl gibt die Position der Ziffer bzw. des Buchstabens an, wie oft die entsprechende 16er-Potenz in der gesamten Zahl vorhanden ist, wobei die Buchstaben a bis f für die Dezimalzahlen 10 bis 15 stehen.

Umrechnungsbeispiel Hexadezimalzahl 2BA3 in Dezimalzahl 11171

2BA3 =	{	2∙163	+	B∙162	+	A∙161	+	3∙160
		2∙163	+	11∙162	+	10∙161	+	3∙160
		8192	+	2816	+	160	+	3
		11171

Der große Vorteil der Hexadezimalzahlen liegt nun darin, daß sich ein nybble bzw. ein Byte sehr einfach hexadezimal ausdrücken läßt:

Zusammenhang zwischen 4bit Binärzahlen und Hexadezimalzahlen

nybble	Hex	nybble	Hex
0000	0	1000	8
0001	1	1001	9
0010	2	1010	A
0011	3	1011	B
0100	4	1100	C
0101	5	1101	D
0110	6	1110	E
0111	7	1111	F

Da ein Byte ja aus zwei nybble besteht, braucht man sich nur die entsprechenden nybble aus der Tabelle zu suchen, um die entsprechenden Werte für ein Byte zu bekommen. Das Byte mit dem Binärwert 10010010 (dezimal 128+16+2=146) besteht beispielsweise aus den nybble 1001 und 0010, sein hexadezimaler Wert ist demnach 92.

Es lassen sich also Zahlen, welche dezimal bzw. binär groß und unhandlich sind, einfach und elegant hexadezimal ausdrücken. Beispiel:

1111111111111111bin = 65535dez = FFFFhex

Der Vollständigkeit halber sollen auch noch die Octalzahlen Erwähnung finden. Die Octalzahlen bestehen aus den Ziffern 0 bis 7 und werden vergleichbar zu den oben beschriebenen Zahlensystemen gebildet. Hier geben also die Ziffern die Faktoren der einzelnen Potenzen zur Basis acht an.

Umrechnungsbeispiel Octalzahl 63571 in Dezimalzahl 26489

63571 =	{	6∙84	+	3∙83	+	5∙82	+	7∙81	+	1∙80
		6∙4096	+	3∙512	+	5∙64	+	7∙8	+	1∙1
		24576	+	1536	+	320	+	56	+	1
		26489

Mit den Octalzahlen lassen sich nun ähnlich wie mit den Hexadezimalzahlen bits zusammenfassen. Hierbei werden immer 3bit zu einer Octalzahl vereinigt, wie diese Übersicht aufzeigt:

Zusammenhang zwischen 3bit Binärzahlen und Octalzahlen

3bit	Oct
000	0
001	1
010	2
011	3
100	4
101	5
110	6
111	7

Man kann also auch mit den Octalzahlen unhandliche Binärzahlen einfach und verkürzt ausdrücken. Beispiel:

111111111111111bin = 32767dez = 77777Oct

In der folgenden Tabelle sind nun die Dezimalzahlen von 0 bis 255 mit ihren entsprechenden hexadezimalen Werten von 0 bis FF aufgelistet. Dies sind exakt auch die möglichen 256 Werte, welche ein Byte einnehmen kann und sie entsprechen den 256 möglichen Abstufungen einer Grundfarbe im 24bit RGB-Farbraum und sie werden auch für die Codierung des ASCII -Zeichensatzes benutzt.

Dezimalzahlen 0-255 ↔ Hexadezimalzahlen 00-FF

DEC	HEX	DEC	HEX	DEC	HEX	DEC	HEX	DEC	HEX	DEC	HEX	DEC	HEX	DEC	HEX
DEC	HEX	DEC	HEX	DEC	HEX	DEC	HEX	DEC	HEX	DEC	HEX	DEC	HEX	DEC	HEX
000	00	001	01	002	02	003	03	004	04	005	05	006	06	007	07
008	08	009	09	010	0A	011	0B	012	0C	013	0D	014	0E	015	0F
016	10	017	11	018	12	019	13	020	14	021	15	022	16	023	17
024	18	025	19	026	1A	027	1B	028	1C	029	1D	030	1E	031	1F
032	20	033	21	034	22	035	23	036	24	037	25	038	26	039	27
040	28	041	29	042	2A	043	2B	044	2C	045	2D	046	2E	047	2F
048	30	049	31	050	32	051	33	052	34	053	35	054	36	055	37
056	38	057	39	058	3A	059	3B	060	3C	061	3D	062	3E	063	3F
064	40	065	41	066	42	067	43	068	44	069	45	070	46	071	47
072	48	073	49	074	4A	075	4B	076	4C	077	4D	078	4E	079	4F
080	50	081	51	082	52	083	53	084	54	085	55	086	56	087	57
088	58	089	59	090	5A	091	5B	092	5C	093	5D	094	5E	095	5F
096	60	097	61	098	62	099	63	100	64	101	65	102	66	103	67
104	68	105	69	106	6A	107	6B	108	6C	109	6D	110	6E	111	6F
112	70	113	71	114	72	115	73	116	74	117	75	118	76	119	77
120	78	121	79	122	7A	123	7B	124	7C	125	7D	126	7E	127	7F
128	80	129	81	130	82	131	83	132	84	133	85	134	86	135	87
136	88	137	89	138	8A	139	8B	140	8C	141	8D	142	8E	143	8F
144	90	145	91	146	92	147	93	148	94	149	95	150	96	151	97
152	98	153	99	154	9A	155	9B	156	9C	157	9D	158	9E	159	9F
160	A0	161	A1	162	A2	163	A3	164	A4	165	A5	166	A6	167	A7
168	A8	169	A9	170	AA	171	AB	172	AC	173	AD	174	AE	175	AF
176	B0	177	B1	178	B2	179	B3	180	B4	181	B5	182	B6	183	B7
184	B8	185	B9	186	BA	187	BB	188	BC	189	BD	190	BE	191	BF
192	C0	193	C1	194	C2	195	C3	196	C4	197	C5	198	C6	199	C7
200	C8	201	C9	202	CA	203	CB	204	CC	205	CD	206	CE	207	CF
208	D0	209	D1	210	D2	211	D3	212	D4	213	D5	214	D6	215	D7
216	D8	217	D9	218	DA	219	DB	220	DC	221	DD	222	DE	223	DF
224	E0	225	E1	226	E2	227	E3	228	E4	229	E5	230	E6	231	E7
232	E8	233	E9	234	EA	235	EB	236	EC	237	ED	238	EE	239	EF
240	F0	241	F1	242	F2	243	F3	244	F4	245	F5	246	F6	247	F7
248	F8	249	F9	250	FA	251	FB	252	FC	253	FD	254	FE	255	FF

Der Konvertierer wandelt Dezimal-, Octal-, Hexadezimal- sowie Binärzahlen ineinander um; der dezimale Bereich der eingegebenen Zahl ist begrenzt und darf 2³¹-1 = 2147483647 nicht überschreiten. In der popup-Version steht Dir dieser Rechner auch außerhalb dieser Seite jederzeit zur Verfügung.

DOHB-Rechner (Obergrenze: 2³¹-1)

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OCT
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